数学者が、どんな人数にも公平な60面ダイスを設計

2010年ごろのゲーム大会で、ボードゲームデザイナーのジェームズ・アーネストは夕食の席で、数学者エリック・ハーシュバーガーに一見気軽な質問をした。2人でも12人でも、どんな人数のグループでも、全員が1回ずつ振るだけで、先手を取る確率が完全に等しくなるダイスを作れる人はいるのか、という問いだった。要求は見た目よりはるかに厳しい。引き分けなし。振り直しなし。各プレイヤー1回だけ振って、完全にランダムで、しかも公平な決定をすること。

アラバマ州オーバーン大学の数学者となった今のハーシュバーガーも、その夜は答えられなかった。しかし、その問いは10年以上にわたって彼の頭から離れなかった。やがてそれは「先手ダイス問題」として知られるようになり、組合せ論、幾何学、そしてボードゲームの日常的なランダム性が交差する難問になった。今、15年にわたる断続的な共同作業の末、ハーシュバーガーと数学仲間たちは解決策を発表した。どんな人数でも、ターン順を完全に公平に決められる5つの60面ダイスである。

簡単そうに見える問題

一見すると、この課題は単純に思える。引き分けを避けるには、各ダイスの各面に固有の数字を入れればいい。5つの60面ダイスなら、1から300までの数字を刻み、各数字をちょうど1回ずつ登場させればよい。300を出した人が当然勝ちで、2人が同じ数字を出すことはないので、引き分けは起こらない。だが、「公平さ」は、重複を避けるだけよりもはるかに厳しい条件だ。

本質は、どんなプレイヤーの部分集合に対しても何が起こるかにある。2人、3人、4人、あるいは5人のグループの中で、各プレイヤーが最高の数字を出す確率がまったく同じになるように設計しなければならない。数字の配分が不均一だと、あるダイスが高い数字を出しやすくなり、それを選んだ人に不公平な利得が生じる。ハーシュバーガーはこう説明した。「簡単なのは引き分けを避けることです。全部のダイスに違う数字を置けばいい。でも問題は、その違う数字をダイス間でどう配分して、全体だけでなく、どんな部分集合に対しても確率が等しくなるようにするかなんです。」

この条件こそが、このパズルを見かけ以上に難しくした理由だ。数字をダイスに無作為に割り当てても、どの部分集合に対しても公平という条件を満たすことはほとんどない。いかにも均整が取れて見える配置でも、2つのダイスだけを比べると失敗することがある。真の公平性を実現するには、数字を数学的に精密に配置し、各ダイスに高い値と低い値を均等に割り振って、実質的にどのダイスも同じ強さになるようにしなければならない。

15年にわたる数学の旅

この問いはその大会の夕食で最初に出たが、ハーシュバーガーはすぐに必死で追いかけたわけではなかった。むしろそれは、友人や数学者、パズル愛好家の間で共有される「気軽なプロジェクト」として残り、会議やオンラインフォーラムで何度も話題に上った。この問題が魅力的だったのは、実用性だけでなく理論的な深さがあったからだ。

公平なダイスの設計は、確率論でよく知られる「非推移的ダイス」と関連している。通常、ダイスの組はじゃんけんのような循環を作ることができる。つまり、ダイスAがダイスBに勝ち、ダイスBがダイスCに勝ち、ダイスCがダイスAに勝つ。しかし、先手ダイス問題が求めるのはそれより強いものだ。すべてのダイスの間に完全な対称性があり、どのダイスも他より弱くも強くもないこと。数学的には、ダイスは確率的に「交換可能」でなければならない。どの2個を比べても、それぞれがより大きい数を出す確率が等しくなり、それは3個組、4個組、あるいは全体でも成り立たなければならない。

年月をかけて、共同研究者たちはさまざまな方法を試した。反復探索アルゴリズム、組合せ的不等式、そして多くの巧妙な推測だ。しかし総当たり探索は不可能だった。300個の数字を300面に割り当てる組み合わせ数は天文学的で、探索を単純化するような明白な対称性もなかった。進展は断続的だった。有望な候補が現れても、特定の部分集合でテストすると失敗することがあった。別の場面では、ある設計群全体が成立しないことを証明し、探索範囲を狭めた。

ハーシュバーガーによれば、最終論文に名前が載っていなくても、多くの数学者や愛好家がアイデアを提供したという。「本当にコミュニティの力だった」とハーシュバーガーはLive Scienceに語った。「人々がパズルのさまざまな断片を持ち寄って、私たちは少しずつ、何が可能で何が不可能かを描き出していったんです。」その過程は、突然のひらめきというより、粘り強い段階的な洗練だった。

勝利の設計

15年の作業の末、チームはついに完全な解を見つけた。5つの60面ダイスで、各ダイスは六十面体として知られる多面体であり、1から300までの数字が重複なく刻まれている。数字の配分はランダムではなく、どのダイスも他のどのダイスに対しても勝つ確率がまったく同じで、さらにどんな大きな部分集合でも最上位になる確率が同じになるように、慎重に設計された配置だ。

この成果を公に示すため、ハーシュバーガーは5つの巨大な木製レプリカを注文または製作した。各ダイスは異なる種類の木から彫られている。大型化されたダイスは、この物体の複雑さを視覚的に理解する助けになる。60面ダイスはほとんど球体のように見え、手に取ると設計に必要だった幾何学的な洗練さが実感できる。これらの芸術的な版は現在、オーバーン大学の新しい数学棟に永久展示されており、自分自身の数学パズルを解くかもしれない学生たちへの祝福であり刺激でもある。

この発見はボードゲームデザイナーに直接的な意味を持つ。ターン順の複雑なルールを使う代わりに、プレイヤーは5つのダイスのうち1つを取って振るだけでよい。このシステムは1人から5人まで、どんな人数でも機能する。2人なら、それぞれがダイスを1つ選んで振り、数字が大きいほうが勝つ。5人なら、同じように振って誰が先に始めるかが決まり、各プレイヤーの勝率は5分の1だ。もし6人以上なら、引き分けを認めればこのダイスでも使える？ いや、この設計は引き分けなしを保証するが、問題が求めているのは全体集合内での公平性だけだ。それでも、このチームの成果は特に5人までのグループに対応しており、各セットが5個のダイスから成るためである。

注目すべきなのは、プレイヤーが戦略的にダイスを選んでも、この保証が崩れないことだ。どのダイスも他のどのダイスに対しても公平なので、固有の有利不利はない。あるプレイヤーが相手がどのダイスを選ぶか予想しようとしても、すべてのダイスは対称なので、選択によって有利になる方法はない。これこそが、この設計を驚くべきものにしている理由だ。見た目は単純な道具を、完全に偏りのないランダマイザーに変えてしまうのだから。

なぜ60面なのか？

なぜ解法には60面ダイスが必要で、標準的な6面体ではだめだったのか。その答えは公平性の数学にある。どんな部分集合に対しても完全に偏りのないダイスの組を作るには、非常に均衡の取れた値の分布を可能にするだけの十分な面数が必要だ。6面しかないと、5個のダイスのセットに対して30個の数字を配分し、すべての部分集合で確率を等しくすることは不可能だ。60面ダイスの幾何学は、この問題が求める繊細なバランスを可能にするだけの面数を提供する。

ハーシュバーガーの仕事は、純粋数学が遊び心のある問いから生まれうることを示す優雅な例だ。ゲーム大会での「冗談」から始まったものが、確率論、組合せ論、多面体幾何学にまたがる本格的な研究へと発展した。そして最後には、プレイヤーが手に取り、振り、信頼できる、実体のあるダイスのセットを生み出した。

オーバーンの数学棟に置かれた5つの木製ダイスは、単なる遺物ではない。いくつかの問題は、忍耐、協力、そしてサイコロを振り続ける意志を必要とするのだという、手で触れられる証拠である。

この記事はLive Scienceの報道に基づいています。元記事を読む。