Matemáticos diseñaron dados de 60 caras perfectamente justos para cualquier número de jugadores

En una convención de juegos alrededor de 2010, el diseñador de juegos de mesa James Ernest planteó una pregunta aparentemente ligera al matemático Eric Harshbarger durante la cena: ¿podría alguien crear un conjunto de dados que permitiera a cada jugador de un grupo, ya fuera de dos o de doce, tirar una sola vez para obtener una oportunidad perfectamente igual de ir primero? La exigencia era más estricta de lo que parece. Sin empates. Sin relanzamientos. Solo una tirada por jugador y una decisión completamente aleatoria, pero justa.

Harshbarger, hoy matemático en la Universidad de Auburn, en Alabama, no pudo responder aquella noche. Pero la pregunta se le quedó grabada durante más de una década. Llegó a conocerse como el problema de los “dados para ir primero”, un rompecabezas que combinaba combinatoria, geometría y la aleatoriedad cotidiana de los juegos de mesa. Ahora, después de quince años de colaboración intermitente, Harshbarger y una red de amigos matemáticos han anunciado la solución: un conjunto de cinco dados de 60 caras que puede determinar el orden de turno con justicia perfecta para cualquier número de jugadores.

El problema que parece fácil

A primera vista, el desafío parece trivial. Para evitar empates, basta con poner un número único en cada cara de cada dado. Con cinco dados de 60 caras, eso significa grabar números del 1 al 300, cada uno apareciendo exactamente una vez. Cualquier jugador que saque un 300 gana obviamente, y como dos jugadores no pueden obtener el mismo número, un empate es imposible. Pero la “justicia” es un requisito mucho más exigente que simplemente evitar duplicados.

La sutileza aparece cuando uno se pregunta qué ocurre con cualquier subconjunto de jugadores. Los dados deben diseñarse de modo que cada jugador en un grupo de dos, tres, cuatro o cinco tenga exactamente la misma probabilidad de sacar el número más alto. Si los números se distribuyen de manera desigual, un dado podría tener mucha más probabilidad de producir un número alto, dando una ventaja injusta a quien lo elija. Harshbarger lo explicó así: “Lo fácil es evitar empates; solo pones números distintos en todos los dados. El problema está en cómo distribuyes esos números distintos entre los dados para que la probabilidad sea igual no solo para el conjunto completo, sino para cualquier subconjunto”.

Esta condición es lo que hizo que el rompecabezas fuera tan engañosamente difícil. Una distribución aleatoria de números entre los dados casi nunca satisface el requisito de justicia para cada subconjunto. Incluso una disposición aparentemente equilibrada suele fallar cuando comparas solo dos de los dados entre sí. Para lograr una justicia real, los números deben disponerse con precisión matemática, equilibrando valores altos y bajos en cada dado para que, en efecto, todos tengan la misma fuerza.

Un viaje matemático de 15 años

La pregunta surgió por primera vez en aquella cena de convención, pero Harshbarger no la persiguió con urgencia frenética. En cambio, quedó como un “proyecto casual” compartido entre amigos, matemáticos y aficionados a los rompecabezas, que disfrutaban retomándolo en conferencias y foros en línea. Lo que hacía atractivo el problema no era solo su utilidad práctica, sino también su profundidad teórica.

Diseñar un conjunto justo de dados está relacionado con un concepto bien conocido en probabilidad llamado “dados no transitivos”. Normalmente, un conjunto de dados puede crear un ciclo al estilo piedra-papel-tijera, en el que el dado A vence al dado B, el dado B vence al dado C y el dado C vence al dado A. Pero el problema de los dados para ir primero exige algo más fuerte: simetría total entre todos los dados, de modo que ninguno sea más débil ni más fuerte que otro. En términos matemáticos, los dados deben ser “intercambiables” en sentido probabilístico. Para cualquier par de dados, cada uno debe tener la misma probabilidad de sacar un número mayor, y esto debe cumplirse para cualquier trío, cuarteto o conjunto completo.

Con los años, los colaboradores probaron distintos enfoques: algoritmos de búsqueda iterativa, desigualdades combinatorias y mucha conjetura ingeniosa. Pero una búsqueda por fuerza bruta era inviable. El número de asignaciones posibles de 300 números entre 300 caras es astronómico, y no había una simetría obvia que simplificara la búsqueda. El progreso llegó a trompicones. A veces surgía un candidato prometedor, solo para fallar cuando se probaba contra un subconjunto específico. Otras veces, el equipo demostraba por qué toda una familia de diseños no podía funcionar, estrechando así la búsqueda.

Según Harshbarger, muchos matemáticos y aficionados aportaron ideas, aunque sus nombres no aparezcan en el artículo final. “Realmente fue un esfuerzo comunitario”, dijo Harshbarger a Live Science. “La gente iba aportando distintas piezas del rompecabezas, y poco a poco fuimos armando una imagen de lo que era posible y de lo que no”. El proceso fue menos un destello repentino de intuición y más una refinación persistente e incremental.

El diseño ganador

Tras quince años de trabajo, el equipo por fin descubrió una solución completa: cinco dados de 60 caras, cada uno un poliedro conocido como hexecontaedro, grabados colectivamente con los números del 1 al 300, sin repeticiones. La distribución de números entre los dados no es aleatoria; es una disposición cuidadosamente diseñada en la que cada dado tiene exactamente la misma probabilidad de vencer a cualquier otro dado, y también la misma probabilidad de ser el número más alto en cualquier subconjunto mayor.

Para mostrar el logro públicamente, Harshbarger encargó o construyó cinco réplicas gigantes de madera de los dados, cada una tallada en un tipo de madera distinto. Los dados sobredimensionados ayudan a visualizar la complejidad del objeto. Un dado de 60 caras se parece casi a una esfera, y manipularlo transmite la sofisticación geométrica que se necesitó para el diseño. Estas versiones artísticas están ahora en exhibición permanente en el nuevo edificio de matemáticas de la Universidad de Auburn, como celebración e inspiración para los estudiantes que quizá algún día resuelvan sus propios rompecabezas matemáticos.

El descubrimiento tiene implicaciones inmediatas para los diseñadores de juegos de mesa. En lugar de usar reglas complicadas para el orden de turno, los jugadores podrían simplemente tomar uno de los cinco dados y lanzarlo. El sistema funciona con cualquier número de jugadores de uno a cinco. Si hay dos jugadores, cada uno elige un dado y lanza; el número más alto gana. Con cinco jugadores, los mismos lanzamientos deciden quién empieza, y cada jugador tiene una probabilidad de uno entre cinco de ganar. Incluso los dados funcionarían con seis o más jugadores si se permitieran empates? No, el diseño garantiza que no haya empates, pero el problema solo pide justicia dentro del conjunto completo. Aun así, el logro del equipo aborda específicamente grupos de hasta cinco, porque cada conjunto tiene cinco dados.

Conviene señalar que la garantía se mantiene incluso cuando los jugadores eligen dados estratégicamente. Como cada dado es justo frente a cualquier otro, ninguno tiene una ventaja inherente. Un jugador podría intentar predecir qué dado elegirá otro, pero como todos los dados son simétricos, no hay forma de obtener ventaja por selección. Esa es la propiedad que hace que el diseño sea tan notable: transforma una herramienta aparentemente simple en un generador de aleatoriedad perfectamente imparcial.

¿Por qué 60 caras?

¿Por qué la solución requirió dados de 60 caras en lugar de, por ejemplo, cubos estándar de 6 caras? La respuesta está en la matemática de la justicia. Para que un conjunto de dados sea perfectamente imparcial para cualquier subconjunto, el número de caras debe ser lo bastante grande como para permitir una distribución muy equilibrada de valores. Con solo seis caras, es imposible distribuir 30 números (para un conjunto de cinco dados) de manera que se igualen las probabilidades para cada subconjunto. La geometría de los dados de 60 caras proporciona suficientes caras para permitir el delicado equilibrio que exige el problema.

El trabajo de Harshbarger es un ejemplo elegante de cómo la matemática pura puede surgir de una pregunta lúdica. Lo que empezó como una “broma” en una convención de juegos terminó convirtiéndose en un serio esfuerzo de investigación que tocó la teoría de la probabilidad, la combinatoria y la geometría poliedral. Y al final produjo algo tangible: un conjunto de dados que los jugadores pueden sostener, lanzar y confiar.

Los cinco dados de madera que están en el edificio de matemáticas de Auburn no son solo reliquias; son una prueba tangible de que algunos problemas requieren paciencia, colaboración y voluntad de seguir lanzando los dados.

Este artículo se basa en la cobertura de Live Science. Leer el artículo original.