大约在2010年的一场游戏大会上，桌游设计师詹姆斯·欧内斯特在晚餐时向数学家埃里克·哈什巴格提出了一个看似轻松的问题：是否有人能设计出一套骰子，让一组玩家中的每个人，无论是两人还是十二人，都只掷一次，就能以完全相等的概率决定谁先开始？这个要求比听上去更严格。不能有平局，不能重掷。每位玩家只掷一次，而且结果必须完全随机，同时又绝对公平。
如今是阿拉巴马州奥本大学数学家的哈什巴格那晚并没有给出答案。但这个问题在十多年里一直萦绕不去。它后来被称为“先手骰子”问题，一个把组合数学、几何学和桌游中的日常随机性结合在一起的难题。如今，经过十五年断断续续的合作，哈什巴格和一群数学朋友宣布找到了答案：一套五枚60面骰子，可以在任意人数的玩家之间，以完全公平的方式决定先后顺序。
看似简单的问题
乍看之下，这个挑战似乎很简单。为了避免平局，只需在每个骰子的每一面都写上不同的数字。对于五枚60面骰子来说，这意味着在300个面上刻上1到300的数字，而且每个数字只出现一次。任何掷出300的人显然获胜，而且既然没有两位玩家会掷出相同的数字，就不可能出现平局。但“公平”这一要求比避免重复更难满足。
难点在于，当你只看任何一个玩家子集时会发生什么。这些骰子必须被设计成，让两人、三人、四人或五人组成的任何一组里，每位玩家掷出最大数字的概率都完全相等。如果数字分布不均，某一枚骰子就可能更容易掷出高数值，从而给挑选它的人带来不公平优势。哈什巴格这样解释：“容易的部分是避免平局；你只要在所有骰子上放不同的数字就行。问题在于如何在这些骰子之间分配这些不同数字，使得概率不仅对整套骰子公平，而且对任何子集也公平。”
这正是这个谜题看似简单却异常困难的原因。把数字随机分配到骰子上的做法，几乎不可能满足对每个子集都公平的要求。即使一种安排看起来很均衡，只要拿其中两枚骰子单独比较，往往就会失败。要实现真正的公平，数字必须以数学上极其精确的方式排列，在每枚骰子上平衡高值和低值，使得每枚骰子实际上都同样“强”。
15年的数学之旅
这个问题最早出现在那次大会的晚餐上，但哈什巴格并没有立刻投入狂热的研究。相反，它作为一个“随手做做”的项目，长期在朋友、数学家和谜题爱好者之间流传，大家会在会议和网络论坛上反复讨论。这个问题之所以吸引人，不仅在于它的实用性，还在于它深厚的理论背景。
设计一套公平的骰子，与概率论中一个著名概念“非传递骰子”有关。通常，一组骰子可以形成一种类似石头剪刀布的循环：骰子A胜过骰子B，骰子B胜过骰子C，而骰子C又胜过骰子A。但“先手骰子”问题要求的更强：所有骰子之间必须完全对称，没有哪一枚骰子更强或更弱。用数学术语来说，这些骰子在概率意义上必须“可交换”。对于任意两枚骰子，它们掷出更大数字的概率必须相等，而且这一点对任意三枚、四枚或整套骰子都必须成立。
多年来，合作者们尝试了不同方法：迭代搜索算法、组合不等式，以及大量巧妙的猜测。但穷举搜索并不可行。将300个数字分配到300个面上的可能组合数大到惊人，而没有明显的对称性可以简化搜索。进展时断时续。有时会出现一个看似有希望的方案，却在针对某个特定子集测试时失败。另一些时候，团队会证明某一整类设计不可能奏效，从而缩小搜索范围。
哈什巴格表示，许多数学家和爱好者都提供过想法，即使他们的名字没有出现在最终论文中。“这真的是一次社区协作，”哈什巴格告诉Live Science。“人们会带来谜题的不同部分，然后我们慢慢拼出哪些可行，哪些不可行。”这个过程更像是持续、逐步的打磨，而不是一次突如其来的灵感。
最终方案
经过十五年的工作，团队终于找到了完整解法：五枚60面骰子，每枚都是一种称为六十面体的多面体，共同刻有1到300的数字，且没有重复。数字在骰子上的分布并非随机，而是经过精心设计的排列，使得每枚骰子在与任何其他骰子对抗时都拥有完全相同的获胜概率，在任何更大的子集中也同样如此。
为了公开展示这一成就，哈什巴格委托或亲手制作了五个巨大的木制复制品，每个都由不同种类的木材雕刻而成。这些放大的骰子有助于人们直观理解这一物体的复杂性。60面骰子几乎像一个球体，拿在手里时能感受到实现这种设计所需的几何复杂性。这些艺术版作品如今陈列在奥本大学新数学大楼中，既是庆祝，也是对未来可能解决自己数学难题的学生的一种激励。
这一发现对桌游设计师有直接意义。玩家不必再使用复杂的先后手规则，只需拿起五枚骰子中的一枚并掷出即可。这个系统适用于一到五名玩家。两名玩家时，各自拿一枚骰子投掷，点数高者先手。五名玩家时，同样的掷骰结果决定谁先开始，而且每位玩家都有五分之一的获胜概率。即使有六人或更多玩家，只要允许平局，骰子也能工作？不，这一设计保证不会出现平局，但这个问题本身只要求在整套骰子内公平。尽管如此，这项成果具体解决的是最多五人时的情形，因为每套只有五枚骰子。
值得注意的是，即使玩家策略性地挑选骰子，这一保证依然成立。由于每枚骰子对其他每枚骰子都公平，没有任何一枚骰子具有内在优势。玩家可以试图预测别人会选哪一枚，但由于所有骰子都是对称的，根本不可能通过选择获得优势。这正是这项设计如此出色的原因：它把一个看似简单的工具，变成了一个完全公正的随机判定器。
为什么是60面？
为什么这个解法需要60面骰子，而不是标准的6面立方体？答案在于公平性的数学要求。要让一组骰子对任何子集都完全无偏，骰子的面数必须足够多，才能实现高度平衡的数值分布。只有6个面时，不可能把30个数字（对于五骰组合）分配到各面上，同时让每个子集的概率都相等。60面骰子的几何结构提供了足够多的面，使得这个问题所要求的精细平衡成为可能。
哈什巴格的工作是一个优雅的例子，说明纯数学如何从一个有趣的问题中诞生。最初在游戏大会上的一个“玩笑”，最终变成了一项严肃的研究，涉及概率论、组合数学和多面体几何。最后，它产出了真正可触摸的东西：一套玩家可以拿在手里、掷出去并信任的骰子。
奥本大学数学楼里摆放的这五枚木制骰子，不只是纪念品；它们也是触手可及的证明，说明有些问题需要耐心、协作，以及不断继续掷骰的意愿。
本文基于Live Science的报道。阅读原文。
Originally published on livescience.com