गणितज्ञों ने किसी भी संख्या के खिलाड़ियों के लिए पूरी तरह निष्पक्ष 60-पक्षीय पासे डिज़ाइन किए

लगभग 2010 में एक गेमिंग सम्मेलन के दौरान, बोर्ड गेम डिज़ाइनर James Ernest ने रात के खाने पर गणितज्ञ Eric Harshbarger से एक देखने में हल्का-फुल्का प्रश्न पूछा: क्या कोई ऐसे पासों का सेट बना सकता है जो किसी समूह के हर खिलाड़ी को, चाहे दो हों या बारह, एक बार फेंकने दे और पहले जाने का पूरी तरह समान अवसर दे? यह मांग जितनी सरल लगती है, उससे कहीं अधिक सख्त थी। कोई टाई नहीं। कोई दोबारा फेंक नहीं। बस हर खिलाड़ी के लिए एक ही बार फेंक और एक पूरी तरह यादृच्छिक, लेकिन निष्पक्ष, निर्णय।

Harshbarger, जो अब Alabama के Auburn University में गणितज्ञ हैं, उस शाम इसका जवाब नहीं दे सके। लेकिन यह प्रश्न एक दशक से अधिक समय तक उनके मन में बना रहा। यह ‘go first dice’ समस्या के नाम से जाना जाने लगा, एक पहेली जिसमें संयोजनिकी, ज्यामिति और टेबलटॉप खेलों की रोज़मर्रा की यादृच्छिकता का मेल था। अब, पंद्रह वर्षों के बीच-बीच में हुए सहयोग के बाद, Harshbarger और उनके गणितज्ञ मित्रों के एक नेटवर्क ने समाधान की घोषणा की है: पाँच 60-पक्षीय पासों का एक सेट, जो किसी भी संख्या के खिलाड़ियों के लिए पूरी निष्पक्षता के साथ turn order तय कर सकता है।

वह समस्या जो आसान लगती है

पहली नज़र में, चुनौती तुच्छ लगती है। टाई से बचने के लिए, बस हर पासे के हर चेहरे पर एक अनोखा नंबर लिख दीजिए। पाँच 60-पक्षीय पासों के साथ, इसका अर्थ है 1 से 300 तक के नंबर उकेरना, जिनमें से हर एक ठीक एक बार आए। जो खिलाड़ी 300 फेंकेगा, वह स्पष्ट रूप से जीत जाएगा, और चूंकि कोई भी दो खिलाड़ी एक ही नंबर नहीं फेंक सकते, टाई असंभव है। लेकिन ‘निष्पक्षता’ केवल दोहराव से बचने की तुलना में कहीं अधिक कठिन शर्त है।

सूक्ष्मता तब सामने आती है जब आप किसी भी उपसमूह के खिलाड़ियों के बारे में पूछते हैं। पासों को इस तरह डिज़ाइन किया जाना चाहिए कि दो, तीन, चार या पाँच खिलाड़ियों वाले समूह में हर खिलाड़ी के पास सबसे बड़ा नंबर फेंकने की ठीक-ठीक समान संभावना हो। यदि नंबर असमान रूप से बाँटे जाएँ, तो एक पासे पर बड़े नंबर आने की संभावना बहुत अधिक हो सकती है, जिससे जो भी उसे चुने उसे अनुचित लाभ मिलेगा। Harshbarger ने इसे इस तरह समझाया: “आसान काम टाई से बचना है; आप बस सभी पासों पर अलग-अलग नंबर लिख देते हैं। समस्या इस बात में आती है कि उन अलग-अलग नंबरों को पासों में कैसे बाँटा जाए ताकि संभावना न सिर्फ पूरे सेट के लिए, बल्कि किसी भी उपसमूह के लिए भी समान रहे।”

यही शर्त इस पहेली को इतना भ्रामक रूप से कठिन बनाती है। पासों में नंबरों का एक यादृच्छिक वितरण लगभग कभी भी हर उपसमूह के लिए निष्पक्षता की शर्त पूरी नहीं करेगा। यहाँ तक कि देखने में संतुलित लगने वाली व्यवस्था भी, जब आप सिर्फ दो पासों की आपस में तुलना करते हैं, तो असफल हो सकती है। सच्ची निष्पक्षता पाने के लिए, नंबरों को गणितीय सटीकता के साथ व्यवस्थित करना होगा, हर पासे पर ऊँचे और नीचले मानों का संतुलन बनाते हुए, ताकि व्यवहार में हर पासा समान रूप से शक्तिशाली हो।

15 वर्षों की गणितीय यात्रा

यह प्रश्न सबसे पहले उस सम्मेलन के रात के खाने पर सामने आया था, लेकिन Harshbarger ने इसे तत्काल ज़रूरत की तरह नहीं लिया। इसके बजाय, यह मित्रों, गणितज्ञों और पहेली-प्रेमियों के बीच एक “casual project” की तरह बना रहा, जो सम्मेलनों और ऑनलाइन मंचों पर बार-बार इस पर लौटते रहे। इस समस्या को आकर्षक बनाने वाली बात सिर्फ इसकी व्यावहारिकता नहीं थी, बल्कि इसकी सैद्धांतिक गहराई भी थी।

निष्पक्ष पासों का सेट डिज़ाइन करना probability में एक प्रसिद्ध अवधारणा से जुड़ा है, जिसे ‘nontransitive dice’ कहा जाता है। सामान्यतः, पासों का एक सेट rock-paper-scissors जैसी श्रृंखला बना सकता है, जहाँ die A, die B को हराता है, die B, die C को हराता है, और die C, die A को हराता है। लेकिन go-first dice समस्या इससे भी अधिक मजबूत बात माँगती है: सभी पासों के बीच पूर्ण सममिति, ताकि कोई भी पासा किसी दूसरे से कमजोर या अधिक मजबूत न हो। गणितीय भाषा में, पासे probabilistic अर्थ में ‘exchangeable’ होने चाहिए। किसी भी पासों की जोड़ी के लिए, हर पासे के पास बड़ा नंबर फेंकने की समान संभावना होनी चाहिए, और यह किसी भी त्रिक, चतुष्क, या पूरे सेट के लिए भी सच होना चाहिए।

सालों के दौरान, सहयोगियों ने अलग-अलग तरीक़े आज़माए: iterative search algorithms, संयोजनात्मक असमानताएँ, और बहुत सारी चतुर अनुमान-आधारित कोशिशें। लेकिन brute-force search व्यावहारिक नहीं था। 300 नंबरों को 300 चेहरों में बाँटने के संभावित तरीकों की संख्या खगोलीय है, और खोज को सरल करने वाली कोई स्पष्ट सममिति नहीं थी। प्रगति रुक-रुक कर हुई। कभी-कभी कोई आशाजनक उम्मीदवार सामने आता, लेकिन किसी विशेष उपसमूह के विरुद्ध जाँचने पर वह असफल हो जाता। दूसरे समय, टीम यह सिद्ध करती कि डिज़ाइन के पूरे एक वर्ग काम नहीं कर सकते, जिससे खोज का दायरा संकरा हो जाता।

Harshbarger के अनुसार, कई गणितज्ञों और शौकीनों ने विचार दिए, भले ही उनके नाम अंतिम पेपर में न हों। “यह सचमुच एक सामुदायिक प्रयास था,” Harshbarger ने Live Science को बताया। “लोग पहेली के अलग-अलग हिस्से लाते थे, और हम धीरे-धीरे यह तस्वीर जोड़ते थे कि क्या संभव है और क्या नहीं।” यह प्रक्रिया अचानक आए किसी बड़े विचार की नहीं, बल्कि लगातार, छोटे-छोटे सुधारों की थी।

जीतने वाला डिज़ाइन

पंद्रह वर्षों के काम के बाद, टीम ने अंततः एक पूर्ण समाधान खोज लिया: पाँच 60-पक्षीय पासे, जिनमें से हर एक polyhedron है जिसे hexecontahedron कहा जाता है, और जिन पर मिलाकर 1 से 300 तक के नंबर उकेरे गए हैं, बिना किसी दोहराव के। पासों में नंबरों का वितरण यादृच्छिक नहीं है; यह एक सावधानी से तैयार की गई व्यवस्था है, जिसमें हर पासे के पास किसी भी दूसरे पासे के विरुद्ध जीतने की बिल्कुल समान संभावना है, और किसी भी बड़े उपसमूह में सबसे बड़ा होने की भी समान संभावना है।

इस उपलब्धि को सार्वजनिक रूप से दिखाने के लिए, Harshbarger ने पासों की पाँच विशाल लकड़ी की प्रतिकृतियाँ मँगवाईं या बनाईं, जिनमें से हर एक अलग प्रकार की लकड़ी से तराशी गई है। ये बड़े आकार के पासे लोगों को इस वस्तु की जटिलता को समझने में मदद करते हैं। एक 60-पक्षीय पासा लगभग एक गोले जैसा दिखता है, और उसे हाथ में लेना उस ज्यामितीय परिष्कार को दर्शाता है जो डिज़ाइन के लिए ज़रूरी था। ये कलात्मक संस्करण अब Auburn University की नई गणित भवन में स्थायी रूप से प्रदर्शित हैं, एक उत्सव और उन छात्रों के लिए प्रेरणा के रूप में जो आगे चलकर अपनी गणितीय पहेलियाँ हल कर सकते हैं।

इस खोज के board game designers के लिए तुरंत निहितार्थ हैं। turn order के लिए जटिल नियमों के बजाय, खिलाड़ी बस पाँच में से एक पासा उठा सकते हैं और फेंक सकते हैं। यह प्रणाली एक से पाँच खिलाड़ियों तक की किसी भी संख्या के साथ काम करती है। यदि दो खिलाड़ी हों, तो हर कोई एक पासा चुनता है और फेंकता है; बड़ा नंबर जीतता है। पाँच खिलाड़ियों के साथ, वही फेंक तय करते हैं कि कौन शुरू करेगा, और हर खिलाड़ी के जीतने की एक-पाँचवीं संभावना होती है। यदि आप टाई की अनुमति दें तो ये पासे छह या अधिक खिलाड़ियों के साथ भी काम करते हैं? नहीं, यह डिज़ाइन टाई की अनुमति नहीं देता, लेकिन समस्या केवल पूरे सेट के भीतर निष्पक्षता माँगती है। फिर भी टीम की उपलब्धि विशेष रूप से पाँच तक के समूहों को संबोधित करती है, क्योंकि हर सेट में पाँच पासे हैं।

यह नोट करना महत्वपूर्ण है कि यह गारंटी तब भी लागू रहती है, जब खिलाड़ी रणनीतिक रूप से पासे चुनें। चूंकि हर पासा हर दूसरे पासे के विरुद्ध निष्पक्ष है, इसलिए किसी भी पासे को अंतर्निहित लाभ नहीं है। कोई खिलाड़ी यह अनुमान लगाने की कोशिश कर सकता है कि दूसरा खिलाड़ी कौन-सा पासा चुनेगा, लेकिन क्योंकि सभी पासे सममित हैं, चयन के माध्यम से कोई बढ़त लेना संभव नहीं है। यही गुण इस डिज़ाइन को इतना उल्लेखनीय बनाता है: यह एक देखने में साधारण उपकरण को एक पूरी तरह निष्पक्ष randomizer में बदल देता है।

60 पक्ष क्यों?

समाधान के लिए 60-पक्षीय पासों की आवश्यकता क्यों पड़ी, बजाय, मान लीजिए, मानक 6-पक्षीय घनों के? उत्तर निष्पक्षता की गणित में है। किसी भी उपसमूह के लिए पूरी तरह निष्पक्ष होने के लिए, पासों के चेहरों की संख्या इतनी बड़ी होनी चाहिए कि मानों का अत्यधिक संतुलित वितरण संभव हो सके। केवल छह पक्षों के साथ, पाँच पासों के सेट के लिए 30 नंबरों को इस तरह बाँटना असंभव है कि हर उपसमूह के लिए संभावनाएँ समान हो जाएँ। 60-पक्षीय पासों की ज्यामिति इतनी जगह देती है कि यह नाज़ुक संतुलन संभव हो सके, जिसकी इस समस्या को ज़रूरत थी।

Harshbarger का काम इस बात का सुंदर उदाहरण है कि शुद्ध गणित एक खेल-भावना वाले प्रश्न से कैसे उभर सकता है। जो एक gaming convention में ‘मज़ाक’ के रूप में शुरू हुआ, वह एक गंभीर शोध प्रयास बन गया, जिसमें probability theory, combinatorics, और polyhedral geometry शामिल थे। और अंत में, इसने कुछ ठोस पैदा किया: पासों का एक ऐसा सेट जिसे खिलाड़ी हाथ में ले सकते हैं, फेंक सकते हैं, और भरोसा कर सकते हैं।

Auburn की गणित इमारत में रखे पाँच लकड़ी के पासे केवल अवशेष नहीं हैं; वे इस बात का स्पर्शनीय प्रमाण हैं कि कुछ समस्याओं के लिए धैर्य, सहयोग, और बार-बार पासा फेंकते रहने की इच्छा चाहिए।

यह लेख Live Science की रिपोर्टिंग पर आधारित है। मूल लेख पढ़ें.