গণিতবিদরা যেকোনো সংখ্যক খেলোয়াড়ের জন্য সম্পূর্ণ ন্যায্য ৬০-পৃষ্ঠবিশিষ্ট পাশা তৈরি করেছেন

প্রায় ২০১০ সালে একটি গেমিং সম্মেলনে, বোর্ড গেম ডিজাইনার জেমস আর্নেস্ট নৈশভোজের সময় গণিতবিদ এরিক হার্শবার্গারকে একটি আপাতদৃষ্টিতে হালকা প্রশ্ন করেন: কেউ কি এমন একটি পাশার সেট তৈরি করতে পারে, যাতে একটি দলে প্রতিটি খেলোয়াড়, তা সে দুইজন হোক বা বারোজন, একবার করে নিক্ষেপ করে প্রথমে যাওয়ার জন্য সম্পূর্ণ সমান সুযোগ পায়? শর্তটি শোনার চেয়ে অনেক কঠোর ছিল। কোনো টাই নয়। কোনো পুনরায় নিক্ষেপ নয়। প্রতিটি খেলোয়াড়ের জন্য মাত্র একটি নিক্ষেপ, এবং একটি সম্পূর্ণ এলোমেলো, কিন্তু ন্যায্য সিদ্ধান্ত।

বর্তমানে আলাবামার অবার্ন বিশ্ববিদ্যালয়ের গণিতবিদ হার্শবার্গার সেই রাতে উত্তর দিতে পারেননি। কিন্তু প্রশ্নটি এক দশকেরও বেশি সময় ধরে তাঁর সঙ্গে থেকে যায়। এটি ‘গো-ফার্স্ট ডাইস’ সমস্যা নামে পরিচিত হয়, একটি ধাঁধা যা সমাবেশবিদ্যা, জ্যামিতি এবং টেবিলটপ গেমের দৈনন্দিন দৈবতার মিশ্রণ। এখন, পনেরো বছরের অনিয়মিত সহযোগিতার পর, হার্শবার্গার এবং তাঁর গণিতবিদ বন্ধুদের একটি নেটওয়ার্ক সমাধান ঘোষণা করেছেন: পাঁচটি ৬০-পৃষ্ঠবিশিষ্ট পাশার একটি সেট, যা যেকোনো সংখ্যক খেলোয়াড়ের জন্য নিখুঁত ন্যায্যতার সঙ্গে টার্ন-ক্রম নির্ধারণ করতে পারে।

যে সমস্যাটি সহজ শোনায়

প্রথম দেখায়, চ্যালেঞ্জটি তুচ্ছ মনে হয়। টাই এড়াতে, প্রতিটি পাশার প্রতিটি পৃষ্ঠে একটি অনন্য সংখ্যা বসিয়ে দিন। পাঁচটি ৬০-পৃষ্ঠবিশিষ্ট পাশার ক্ষেত্রে, তার মানে ১ থেকে ৩০০ পর্যন্ত সংখ্যা খোদাই করা, যেখানে প্রতিটি সংখ্যা একবারই থাকবে। যে খেলোয়াড় ৩০০ পায়, সে স্পষ্টতই জেতে, এবং যেহেতু দুই খেলোয়াড় একই সংখ্যা পেতে পারে না, তাই টাই অসম্ভব। কিন্তু ‘ন্যায্যতা’ কেবল পুনরাবৃত্তি এড়ানোর চেয়ে অনেক বেশি কঠিন শর্ত।

সূক্ষ্মতা দেখা দেয় যখন আপনি জিজ্ঞেস করেন, খেলোয়াড়দের যেকোনো উপসেটের ক্ষেত্রে কী হবে। পাশাগুলো এমনভাবে তৈরি করতে হবে যাতে দুই, তিন, চার বা পাঁচজনের দলে প্রতিটি খেলোয়াড়ের সর্বোচ্চ সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাবনা ঠিক সমান হয়। যদি সংখ্যাগুলো অসমভাবে বিতরণ করা হয়, তাহলে একটি পাশা অনেক বেশি হারে উঁচু সংখ্যা দিতে পারে, আর তা বেছে নেওয়া খেলোয়াড়ের জন্য অন্যায্য সুবিধা তৈরি করবে। হার্শবার্গার এটি এভাবে ব্যাখ্যা করেছেন: “সহজ কাজ হলো টাই এড়ানো; আপনি শুধু সব পাশায় আলাদা সংখ্যা বসিয়ে দেন। সমস্যা শুরু হয় তখন, যখন সেই আলাদা সংখ্যাগুলো পাশাগুলোর মধ্যে কীভাবে ভাগ করবেন, যাতে সম্ভাবনা শুধু পুরো সেটের জন্য নয়, যেকোনো উপসেটের জন্যও সমান থাকে।”

এই শর্তই ধাঁধাটিকে এত প্রতারণামূলকভাবে কঠিন করে তুলেছিল। পাশাগুলোর ওপর সংখ্যার এলোমেলো বণ্টন প্রায় কখনোই প্রতিটি উপসেটের জন্য ন্যায্যতার শর্ত পূরণ করে না। এমনকি দেখতে ভারসাম্যপূর্ণ কোনো বিন্যাসও প্রায়ই ব্যর্থ হয়, যখন আপনি কেবল দুটি পাশাকে একে অপরের সঙ্গে তুলনা করেন। প্রকৃত ন্যায্যতা অর্জনের জন্য সংখ্যাগুলোকে গণিতসম্মত নিখুঁততায় সাজাতে হয়, যাতে প্রতিটি পাশে উঁচু ও নিচু মানের ভারসাম্য এমন হয় যে কার্যত প্রতিটি পাশাই সমান শক্তিশালী হয়।

১৫ বছরের গণিতযাত্রা

প্রশ্নটি প্রথম সেই সম্মেলনের নৈশভোজে উঠে আসে, কিন্তু হার্শবার্গার এটিকে কোনো তাড়াহুড়ো নিয়ে অনুসরণ করেননি। বরং এটি বন্ধু, গণিতবিদ এবং ধাঁধাপ্রেমীদের মধ্যে ভাগ করা একটি “অনানুষ্ঠানিক প্রকল্প” হিসেবে রয়ে যায়, যারা সম্মেলন এবং অনলাইন ফোরামে এ নিয়ে বারবার ফিরে আসতে পছন্দ করতেন। এই সমস্যাকে আকর্ষণীয় করে তুলেছিল শুধু এর ব্যবহারিকতা নয়, এর তাত্ত্বিক গভীরতাও।

একটি ন্যায্য পাশার সেট ডিজাইন করা সম্ভাব্যতা তত্ত্বের একটি সুপরিচিত ধারণা, ‘ননট্রান্সিটিভ ডাইস’-এর সঙ্গে সম্পর্কিত। সাধারণত, একটি পাশার সেট রক-পেপার-সিজার্সের মতো একটি চক্র তৈরি করতে পারে, যেখানে পাশা A, পাশা B-কে হারায়, পাশা B, পাশা C-কে হারায়, এবং পাশা C, পাশা A-কে হারায়। কিন্তু গো-ফার্স্ট ডাইস সমস্যা আরও শক্তিশালী কিছু দাবি করে: সব পাশার মধ্যে সম্পূর্ণ সমতা, যাতে কোনো পাশাই অন্যটির চেয়ে দুর্বল বা শক্তিশালী না হয়। গাণিতিক ভাষায়, পাশাগুলোকে সম্ভাব্যতামূলক অর্থে ‘এক্সচেঞ্জেবল’ হতে হবে। যেকোনো জোড়া পাশার ক্ষেত্রে, প্রত্যেকটিরই বেশি সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাবনা সমান হতে হবে, এবং এটি যেকোনো ত্রয়ী, চতুষ্টয়, বা পুরো সেটের ক্ষেত্রেও সত্য হতে হবে।

বছরের পর বছর ধরে, সহযোগীরা বিভিন্ন পদ্ধতি চেষ্টা করেছেন: পুনরাবৃত্ত অনুসন্ধান অ্যালগরিদম, সমাবেশগত অসাম্য, এবং প্রচুর চতুর অনুমান। কিন্তু ব্রুট-ফোর্স অনুসন্ধান ছিল অবাস্তব। ৩০০টি সংখ্যাকে ৩০০টি পৃষ্ঠে বণ্টনের সম্ভাব্য বিন্যাসের সংখ্যা বিপুল, এবং অনুসন্ধানকে সহজ করার মতো কোনো স্পষ্ট সমতা ছিল না। অগ্রগতি এসেছে খণ্ড খণ্ডভাবে। কখনও আশাব্যঞ্জক কোনো বিকল্প সামনে এসেছে, কিন্তু নির্দিষ্ট একটি উপসেটের বিরুদ্ধে পরীক্ষা করলে তা ব্যর্থ হয়েছে। আবার কখনও দলটি প্রমাণ করেছে কেন নকশার একটি পুরো পরিবার কাজ করতে পারবে না, ফলে অনুসন্ধান সংকুচিত হয়েছে।

হার্শবার্গারের মতে, অনেক গণিতবিদ ও শৌখিন গবেষক ধারণা দিয়েছেন, যদিও তাঁদের নাম চূড়ান্ত প্রবন্ধে নেই। হার্শবার্গার Live Science-কে বলেন, “এটি সত্যিই একটি সামষ্টিক প্রচেষ্টা ছিল। মানুষ ধাঁধার বিভিন্ন অংশ নিয়ে আসত, আর আমরা ধীরে ধীরে কী সম্ভব আর কী সম্ভব নয় তার একটি ছবি গড়ে তুলতাম।” প্রক্রিয়াটি হঠাৎ আলোর ঝলকের চেয়ে বেশি ছিল অবিরাম, ধাপে ধাপে পরিশোধনের ব্যাপার।

জয়ী নকশা

পনেরো বছরের কাজের পর, দলটি শেষ পর্যন্ত একটি পূর্ণ সমাধান খুঁজে পায়: পাঁচটি ৬০-পৃষ্ঠবিশিষ্ট পাশা, প্রতিটি একটি বহুপৃষ্ঠীয় আকৃতি, যাকে হেক্সেকন্টাহেড্রন বলা হয়, সম্মিলিতভাবে ১ থেকে ৩০০ পর্যন্ত সংখ্যায় খোদাই করা, কোনো পুনরাবৃত্তি ছাড়া। পাশাগুলোর মধ্যে সংখ্যার বণ্টন এলোমেলো নয়; এটি অত্যন্ত যত্নে তৈরি একটি বিন্যাস, যেখানে প্রতিটি পাশার অন্য যেকোনো পাশার বিরুদ্ধে জয়ের সম্ভাবনা একেবারে একই, এবং যেকোনো বড় উপসেটের মধ্যে সর্বোচ্চ হওয়ার সম্ভাবনাও একই।

এই অর্জনটি জনসমক্ষে দেখাতে, হার্শবার্গার পাশাগুলোর পাঁচটি বিশাল কাঠের অনুলিপি কমিশন করেন বা তৈরি করেন, প্রতিটি ভিন্ন ধরনের কাঠ দিয়ে খোদাই করা। বড় আকারের এই পাশাগুলো মানুষকে বস্তুটির জটিলতা কল্পনা করতে সাহায্য করে। একটি ৬০-পৃষ্ঠবিশিষ্ট পাশা প্রায় একটি গোলকের মতো দেখায়, এবং সেটি হাতে ধরা সেই জ্যামিতিক সূক্ষ্মতাকে অনুভব করায়, যা এই নকশার জন্য প্রয়োজন ছিল। এই শিল্পরূপগুলো এখন অবার্ন বিশ্ববিদ্যালয়ের নতুন গণিত ভবনে স্থায়ীভাবে প্রদর্শিত হচ্ছে, যা একটি উদযাপন এবং সেই সব ছাত্রছাত্রীর জন্য অনুপ্রেরণা, যারা নিজেদের গণিতের ধাঁধা সমাধান করতে যেতে পারে।

এই আবিষ্কারের বোর্ড গেম ডিজাইনারদের জন্য তাৎক্ষণিক প্রভাব রয়েছে। টার্ন-ক্রমের জন্য জটিল নিয়মের বদলে, খেলোয়াড়রা কেবল পাঁচটি পাশার একটি তুলে নিয়ে নিক্ষেপ করতে পারে। এই ব্যবস্থা এক থেকে পাঁচজন পর্যন্ত যেকোনো সংখ্যক খেলোয়াড়ের সঙ্গে কাজ করে। যদি দুইজন খেলোয়াড় থাকে, তবে প্রত্যেকে একটি করে পাশা বেছে নেয় এবং নিক্ষেপ করে; বড় সংখ্যা জেতে। পাঁচজন খেলোয়াড়ের ক্ষেত্রে, একই নিক্ষেপে কে শুরু করবে তা নির্ধারিত হয়, এবং প্রতিটি খেলোয়াড়ের জয়ের সম্ভাবনা পাঁচে এক। যদি আপনি টাই অনুমোদন করেন, তবে কি এই পাশাগুলো ছয় বা তার বেশি খেলোয়াড়ের সঙ্গে কাজ করবে? না, নকশাটি কোনো টাই না থাকার নিশ্চয়তা দেয়, কিন্তু সমস্যাটি কেবল পুরো সেটের মধ্যে ন্যায্যতা চায়। তবুও, দলের অর্জন বিশেষভাবে পাঁচজন পর্যন্ত দলের জন্য প্রযোজ্য, কারণ প্রতিটি সেটে পাঁচটি পাশা থাকে।

এটিও লক্ষণীয় যে, খেলোয়াড়রা কৌশলগতভাবে পাশা বেছে নিলেও এই নিশ্চয়তা বজায় থাকে। যেহেতু প্রতিটি পাশা প্রতিটি অন্য পাশার বিরুদ্ধে ন্যায্য, তাই কোনো পাশারই অন্তর্নিহিত সুবিধা নেই। একজন খেলোয়াড় চেষ্টা করতে পারে অন্য খেলোয়াড় কোন পাশা নেবে তা অনুমান করতে, কিন্তু যেহেতু সব পাশাই সমমিত, নির্বাচনের মাধ্যমে কোনো বাড়তি সুবিধা নেওয়ার উপায় নেই। এই বৈশিষ্ট্যই নকশাটিকে এত অসাধারণ করে তোলে: এটি দেখতে সাধারণ একটি যন্ত্রকে সম্পূর্ণ নিরপেক্ষ একটি র‌্যান্ডমাইজারে পরিণত করে।

৬০ পৃষ্ঠ কেন?

স্ট্যান্ডার্ড ৬-পৃষ্ঠবিশিষ্ট ঘনের বদলে সমাধানের জন্য ৬০-পৃষ্ঠবিশিষ্ট পাশা কেন দরকার হলো? উত্তরটি ন্যায্যতার গণিতে নিহিত। যেকোনো উপসেটের জন্য পাশার একটি সেটকে সম্পূর্ণ পক্ষপাতহীন হতে হলে, পৃষ্ঠের সংখ্যা যথেষ্ট বড় হতে হবে, যাতে মানগুলোর অত্যন্ত ভারসাম্যপূর্ণ বণ্টন সম্ভব হয়। মাত্র ছয়টি পৃষ্ঠ দিয়ে, ৩০টি সংখ্যা (পাঁচটি পাশার সেটের জন্য) এমনভাবে বণ্টন করা অসম্ভব, যাতে প্রতিটি উপসেটের জন্য সম্ভাবনাগুলো সমান হয়। ৬০-পৃষ্ঠবিশিষ্ট পাশার জ্যামিতি এই সূক্ষ্ম ভারসাম্য রক্ষার কাজের জন্য যথেষ্ট পৃষ্ঠ সরবরাহ করে, যা সমস্যাটি দাবি করছিল।

হার্শবার্গারের কাজ একটি চমৎকার উদাহরণ, কীভাবে খাঁটি গণিত একটি খেলাধুলাপূর্ণ প্রশ্ন থেকে জন্ম নিতে পারে। যা একটি গেমিং সম্মেলনে ‘মজা’ হিসেবে শুরু হয়েছিল, তা পরে সম্ভাব্যতা তত্ত্ব, সমাবেশবিদ্যা, এবং বহুপৃষ্ঠীয় জ্যামিতিকে স্পর্শ করা একটি গুরুতর গবেষণা প্রচেষ্টায় পরিণত হয়। এবং শেষ পর্যন্ত, এটি এমন কিছু বাস্তব জিনিস তৈরি করেছে, যা খেলোয়াড়রা হাতে ধরতে, নিক্ষেপ করতে, এবং বিশ্বাস করতে পারে।

অবার্নের গণিত ভবনে থাকা পাঁচটি কাঠের পাশা শুধু নিদর্শন নয়; এগুলো স্পর্শযোগ্য প্রমাণ যে কিছু সমস্যার জন্য ধৈর্য, সহযোগিতা, এবং পাশা বারবার ছোড়ার ইচ্ছা দরকার।

এই নিবন্ধটি Live Science-এর প্রতিবেদন অবলম্বনে লেখা। মূল নিবন্ধটি পড়ুন.