எந்த எண்ணிக்கையிலான வீரர்களுக்கும் கணிதவியலாளர்கள் முற்றிலும் நியாயமான 60 முகங்களுடைய பகடைகளை வடிவமைத்துள்ளனர்

சுமார் 2010ஆம் ஆண்டு ஒரு விளையாட்டு மாநாட்டில், போர்டு கேம் வடிவமைப்பாளர் ஜேம்ஸ் எர்னெஸ்ட், இரவு உணவின்போது கணிதவியலாளர் எரிக் ஹார்ஷ்பார்ஜரிடம் ஒரு வெளிப்படையாக இலகுவான கேள்வியை முன்வைத்தார்: இரண்டு பேராக இருந்தாலும் பன்னிரண்டு பேராக இருந்தாலும், எந்தக் குழுவிலுள்ள ஒவ்வொரு வீரரும் ஒருமுறை மட்டும் உருட்டி, முதலில் செல்லுவதற்கான முற்றிலும் சம வாய்ப்பைப் பெறும் வகையில் பகடைகளின் ஒரு தொகுப்பை யாராவது உருவாக்க முடியுமா? இந்தத் தேவை கேட்கும் அளவுக்கு எளிதாக இல்லை. டை இல்லை. மீண்டும் உருட்டல் இல்லை. ஒவ்வொரு வீரருக்கும் ஒரே ஒரு உருட்டல் மட்டுமே, மேலும் முற்றிலும் சீரற்றதானாலும் நியாயமானதுமான முடிவு.

அலபாமாவின் ஆபர்ன் பல்கலைக்கழகத்தில் தற்போது கணிதவியலாளராக உள்ள ஹார்ஷ்பார்ஜர், அன்றிரவு அதற்குப் பதில் சொல்ல முடியவில்லை. ஆனால் அந்தக் கேள்வி ஒரு தசாப்தத்திற்கும் மேலாக அவருடன் இருந்து வந்தது. அது ‘முதலில் செல்லும் பகடைகள்’ என அறியப்பட்ட ஒரு புதிராக மாறியது; சேர்க்கைக் கணிதம், வடிவியல், மற்றும் மேசை விளையாட்டுகளின் அன்றாட சீரற்ற தன்மை ஆகியவற்றை இணைக்கும் ஒரு சிக்கல். இப்போது, பதினைந்து ஆண்டுகளாக இடைஇடையே நடந்த ஒத்துழைப்புக்குப் பிறகு, ஹார்ஷ்பார்ஜரும் அவரது கணித நண்பர்களின் வலையமும் ஒரு தீர்வை அறிவித்துள்ளனர்: எந்த எண்ணிக்கையிலான வீரர்களுக்கும் முழுமையான நியாயத்துடன் தொடக்க வரிசையை நிர்ணயிக்கக்கூடிய ஐந்து 60 முகங்களுடைய பகடைகளின் தொகுப்பு.

எளிதாகத் தோன்றும் பிரச்சனை

முதல் பார்வையில், இந்தச் சவால் மிக எளிதாகத் தெரிகிறது. டைகளைத் தவிர்க்க, ஒவ்வொரு பகடையிலும் உள்ள ஒவ்வொரு முகத்திலும் தனித்த எண்ணை இடுங்கள். ஐந்து 60 முகங்களுடைய பகடைகளுடன், அதாவது 1 முதல் 300 வரை உள்ள எண்களைச் செதுக்க வேண்டும், ஒவ்வொரு எண்ணும் ஒருமுறை மட்டுமே வருமாறு. 300 உருட்டும் வீரர் தெளிவாக வெல்வார், மேலும் இரண்டு வீரர்கள் ஒரே எண்ணை உருட்ட முடியாததால் டை சாத்தியமில்லை. ஆனால் ‘நியாயம்’ என்பது மீளுருப்படிகளைத் தவிர்ப்பதைவிட அதிகக் கடுமையான நிபந்தனை.

வீரர்களின் எந்தத் துணைக்குழுவைப் பற்றியும் நீங்கள் கேட்கும்போது நுணுக்கம் வெளிப்படுகிறது. இரண்டு, மூன்று, நான்கு அல்லது ஐந்து பேர் கொண்ட குழுவில் ஒவ்வொரு வீரருக்கும் அதிக எண்ணை உருட்டும் சாத்தியம் ஒரே அளவாக இருக்குமாறு பகடைகள் வடிவமைக்கப்பட வேண்டும். எண்கள் சமமற்ற வகையில் பகுக்கப்பட்டால், ஒரு பகடை உயர்ந்த எண் வருவதற்கான சாத்தியம் அதிகமாக இருக்கலாம்; அதனால் அதைத் தேர்ந்தெடுப்பவருக்கு அநியாயமான முன்னிலை கிடைக்கும். ஹார்ஷ்பார்ஜர் இதை இவ்வாறு விளக்கினார்: “எளிதானது டைகளைத் தவிர்ப்பதுதான்; எல்லா பகடைகளிலும் வேறுபட்ட எண்களைப் போடலாம். பிரச்சனை என்பது அந்த வேறுபட்ட எண்களை பகடைகளுக்குள் எப்படி பகிர்வது என்பதில்தான்; முழுத் தொகுப்பிற்காக மட்டுமல்ல, எந்தத் துணைத்தொகுப்பிற்கும் கூட சாத்தியம் சமமாக இருக்க வேண்டும்.”

இந்த நிபந்தனைதான் அந்தப் புதிரை இவ்வளவு வஞ்சகமாக கடினமாக்கியது. பகடைகளில் எண்களின் சீரற்ற பகிர்வு, ஒவ்வொரு துணைத்தொகுப்பிற்கும் நியாயத் தேவையை கிட்டத்தட்ட ஒருபோதும் பூர்த்தி செய்யாது. வெளிப்படையாக சமநிலையாகத் தோன்றும் அமைப்பும், நீங்கள் இரண்டு பகடைகளை மட்டும் ஒன்றுடன் ஒன்று ஒப்பிடும்போது கூட பெரும்பாலும் தோல்வியடைகிறது. உண்மையான நியாயத்தை அடைய, எண்கள் கணிதத் துல்லியத்துடன் அமைக்கப்பட வேண்டும்; ஒவ்வொரு பகடையிலும் உயர்ந்த மற்றும் குறைந்த மதிப்புகள் சமநிலைப்படுத்தப்பட வேண்டும், அப்போதுதான் ஒவ்வொரு பகடையும் சம வலிமையுடையதாக இருக்கும்.

15 ஆண்டுகளின் கணிதப் பயணம்

அந்த மாநாட்டு இரவு உணவின்போது கேள்வி முதன்முதலில் எழுந்தது, ஆனால் ஹார்ஷ்பார்ஜர் அதை அவசரமாக எடுத்துக்கொள்ளவில்லை. அதற்கு பதிலாக, அது நண்பர்கள், கணிதவியலாளர்கள், மற்றும் புதிர் ஆர்வலர்களிடையே பகிரப்பட்ட ஒரு “சாதாரண திட்டம்” ஆகவே நீடித்தது; மாநாடுகளிலும் இணையக் குழுக்களிலும் அதை மீண்டும் மீண்டும் விவாதிப்பதில் அவர்கள் மகிழ்ந்தனர். இந்தப் பிரச்சனையை ஈர்க்கக்கூடியதாக மாற்றியது அதன் பயன்பாட்டுத்தன்மை மட்டுமல்ல, அதன் கோட்பாட்டு ஆழமும் கூட.

நியாயமான பகடைகளின் தொகுப்பை வடிவமைப்பது, சாத்தியக்கூறு கோட்பாட்டில் ‘நான்-டிரான்ஸிடிவ் பகடைகள்’ எனப்படும் நன்கு அறியப்பட்ட கருத்துடன் தொடர்புடையது. வழக்கமாக, ஒரு பகடைத் தொகுப்பு ராக்-பேப்பர்-சிசர்ஸ் போன்ற ஒரு சுழற்சியை உருவாக்கலாம்; அதில் பகடை A, பகடை B-ஐ வெல்லும், பகடை B, பகடை C-ஐ வெல்லும், மற்றும் பகடை C, பகடை A-ஐ வெல்லும். ஆனால் முதலில் செல்லும் பகடைகள் பிரச்சனை இதைவிட வலிமையான ஒன்றைக் கோருகிறது: எல்லாப் பகடைகளுக்கும் இடையில் முழுமையான சமநிலை, அப்படி ஒரு பகடையும் மற்றொன்றைவிட பலவீனமாகவோ வலிமையானதாகவோ இருக்கக் கூடாது. கணிதரீதியாக, பகடைகள் சாத்தியக்கூறு அர்த்தத்தில் ‘பரிமாற்றக்கூடிய’வையாக இருக்க வேண்டும். எந்த ஜோடி பகடைக்கும், ஒவ்வொன்றுக்கும் அதிக எண்ணை உருட்டும் வாய்ப்பு சமமாக இருக்க வேண்டும், மேலும் இது எந்த மும்மையும், நான்குமையும், அல்லது முழுத் தொகுப்பிற்கும் பொருந்த வேண்டும்.

ஆண்டுகளாக, ஒத்துழைப்பாளர்கள் பல்வேறு அணுகுமுறைகளை முயன்றனர்: மறு-மறு தேடல் அல்காரிதம்கள், சேர்க்கைக் கட்டுப்பாடுகள், மற்றும் மிகுந்த புத்திசாலித்தனமான யூகங்கள். ஆனால் முழு வலிமைத் தேடல் நடைமுறையில் சாத்தியமில்லை. 300 எண்களை 300 முகங்களில் ஒதுக்குவதற்கான சாத்தியமான முறைகளின் எண்ணிக்கை அளப்பரியது, மேலும் தேடலை எளிதாக்கும் வெளிப்படையான சமநிலை எதுவும் இல்லை. முன்னேற்றம் திடீரெனவும் மந்தமாகவும் நடந்தது. சில சமயம் நம்பிக்கை அளிக்கும் ஒரு விருப்பம் தோன்றியது, ஆனால் குறிப்பிட்ட துணைத்தொகுப்புடன் சோதிக்கும்போது அது தோல்வியடைந்தது. மற்ற சமயங்களில், வடிவமைப்புகளின் ஒரு முழுக் குடும்பம் வேலை செய்யாது என்பதை குழு நிரூபித்தது, இதனால் தேடல் குறுகியது.

ஹார்ஷ்பார்ஜரின் கூற்றுப்படி, இறுதி கட்டுரையில் பெயர்கள் வராதிருந்தாலும் பல கணிதவியலாளர்களும் ஆர்வலர்களும் கருத்துகளை வழங்கினர். ஹார்ஷ்பார்ஜர் Live Science-இற்கு, “இது உண்மையில் ஒரு சமூக முயற்சி. மக்கள் புதிரின் பல துணுக்குகளை கொண்டு வந்தார்கள், நாங்கள் மெதுவாக என்ன சாத்தியம், என்ன சாத்தியம் அல்ல என்பதற்கான ஒரு படத்தை ஒன்றாக்கினோம்,” என்று கூறினார். இந்தச் செயல்முறை திடீர் யோசனை வெடிப்பைக் காட்டிலும் தொடர்ச்சியான, படிப்படியான செம்மைப்படுத்தல்தான் அதிகம்.

வெற்றிகரமான வடிவம்

பதினைந்து ஆண்டுகளின் பணிக்குப் பிறகு, குழு இறுதியில் ஒரு முழுமையான தீர்வைக் கண்டுபிடித்தது: ஐந்து 60 முகங்களுடைய பகடைகள், ஒவ்வொன்றும் ஹெக்செகோன்டாஹெட்ரான் எனப்படும் ஒரு பல்பரப்பி, மொத்தமாக 1 முதல் 300 வரை உள்ள எண்களால், மீளுருப்படி இல்லாமல் செதுக்கப்பட்டவை. பகடைகளுக்கிடையிலான எண்களின் பகிர்வு சீரற்றது அல்ல; அது ஒவ்வொரு பகடைக்கும் வேறு எந்தப் பகடைக்கும் எதிராக வெல்லும் அதே சாத்தியத்தை, மேலும் எந்தப் பெரிய துணைத்தொகுப்பிலும் அதிக எண்ணாக இருப்பதற்கான அதே சாத்தியத்தையும் கொண்ட கவனமாக வடிவமைக்கப்பட்ட அமைப்பு.

இந்தச் சாதனையை பொதுவாகக் காட்டுவதற்காக, ஹார்ஷ்பார்ஜர் பகடைகளின் ஐந்து பெரிய மரப் பிரதிகளை ஆணையிட்டு அல்லது உருவாக்கினார்; ஒவ்வொன்றும் வேறுபட்ட மர வகையிலிருந்து செதுக்கப்பட்டது. பெரிதாக்கப்பட்ட இந்தப் பகடைகள், அந்தப் பொருளின் சிக்கல்தன்மையை மக்களுக்கு காட்சிப்படுத்த உதவுகின்றன. 60 முகங்களுடைய ஒரு பகடை கிட்டத்தட்ட ஒரு கோளத்தைப் போலத் தோன்றுகிறது, அதை கையில் பிடிப்பது இந்த வடிவமைப்புக்கு தேவைப்பட்ட வடிவியல் நுட்பத்தை உணர்த்துகிறது. இந்தக் கலை வடிவங்கள் தற்போது ஆபர்ன் பல்கலைக்கழகத்தின் புதிய கணிதக் கட்டிடத்தில் நிரந்தரமாக காட்சிப்படுத்தப்பட்டுள்ளன; அவை கொண்டாட்டமாகவும், தங்களது சொந்த கணிதப் புதிர்களைத் தீர்க்கும் மாணவர்களுக்கு உத்வேகமாகவும் உள்ளன.

இந்தக் கண்டுபிடிப்புக்கு போர்டு கேம் வடிவமைப்பாளர்களுக்கு உடனடி விளைவுகள் உள்ளன. தொடக்க வரிசைக்கான சிக்கலான விதிகளுக்குப் பதிலாக, வீரர்கள் ஐந்து பகடைகளில் ஒன்றை எடுத்துத் தட்டலாம். இந்த முறை ஒன்று முதல் ஐந்து வரை எந்த எண்ணிக்கையிலான வீரர்களுடனும் செயல்படும். இரண்டு வீரர்கள் இருந்தால், ஒவ்வொருவரும் ஒரு பகடையைத் தேர்ந்தெடுத்து உருட்டுகிறார்கள்; அதிக எண் வெல்லும். ஐந்து வீரர்களுடன், அதே உருட்டல்கள் யார் தொடங்குவார் என்பதைத் தீர்மானிக்கின்றன, மேலும் ஒவ்வொரு வீரருக்கும் வெல்ல ஐந்தில் ஒன்று என்ற வாய்ப்பு உள்ளது. நீங்கள் டையை அனுமதித்தால், இந்தப் பகடைகள் ஆறு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட வீரர்களுடனும் வேலை செய்யுமா? இல்லை, இந்த வடிவமைப்பு டை இல்லையென உறுதி செய்கிறது, ஆனால் பிரச்சனை முழுத் தொகுப்பிற்குள் நியாயத்தையே மட்டுமே கேட்கிறது. அதே நேரத்தில், குழுவின் சாதனை குறிப்பாக ஐந்து பேர் வரை உள்ள குழுக்களுக்கே பொருந்துகிறது, ஏனெனில் ஒவ்வொரு தொகுப்பிலும் ஐந்து பகடைகள்தான் உள்ளன.

வீரர்கள் யுக்தியாக பகடைகளைத் தேர்ந்தாலும் இந்த உறுதி நீடிப்பது குறிப்பிடத்தக்கது. ஒவ்வொரு பகடையும் மற்ற ஒவ்வொரு பகடைக்கும் எதிராக நியாயமானதாக இருப்பதால், எந்தப் பகடைக்கும் உள்ளார்ந்த முன்னிலை இல்லை. ஒரு வீரர் மற்றவர் எந்தப் பகடையைத் தேர்வுசெய்வார் என கணிக்க முயலலாம், ஆனால் அனைத்துப் பகடைகளும் சமமாதிரியானவை என்பதால், தேர்வின் மூலம் முன்னிலை பெற வழியே இல்லை. இந்தப் பண்புதான் இந்த வடிவமைப்பை இவ்வளவு குறிப்பிடத்தக்கதாக மாற்றுகிறது: அது பார்க்க எளிதாகத் தோன்றும் கருவியை முற்றிலும் சார்பற்ற சீரற்றாக்கியாக மாற்றுகிறது.

ஏன் 60 முகங்கள்?

சாதாரண 6 முகங்கள் கொண்ட கனசதுரங்களுக்குப் பதிலாக, தீர்வுக்கு 60 முகங்களுடைய பகடைகள் ஏன் தேவைப்பட்டன? பதில் நியாயத்தின் கணிதத்தில்தான் உள்ளது. எந்தத் துணைக்குழுவிற்கும் பகடைகளின் தொகுப்பு முற்றிலும் சார்பற்றதாக இருக்க வேண்டுமென்றால், முகங்களின் எண்ணிக்கை மதிப்புகளின் மிகச் சமநிலையான பகிர்வை அனுமதிக்கும் அளவுக்குப் பெரிதாக இருக்க வேண்டும். வெறும் ஆறு முகங்களுடன், 30 எண்களை (ஐந்து பகடைகளின் தொகுப்பிற்காக) ஒவ்வொரு துணைக்குழுவிற்கும் சாத்தியக்கூறுகளை சமமாக்கும் விதத்தில் பகிர்வது இயலாது. 60 முகங்களுடைய பகடைகளின் வடிவியல், இந்த நுணுக்கமான சமநிலைக்குத் தேவையான அளவு முகங்களை வழங்குகிறது.

ஹார்ஷ்பார்ஜரின் பணி, விளையாட்டுத் தன்மை கொண்ட ஒரு கேள்வியிலிருந்து தூய கணிதம் எவ்வாறு உருவாக முடியும் என்பதற்கான அழகான எடுத்துக்காட்டு. ஒரு விளையாட்டு மாநாட்டில் ‘ஜோக்’ஆகத் தொடங்கியது, பின்னர் சாத்தியக்கூறு கோட்பாடு, சேர்க்கைக் கணிதம், மற்றும் பல்பரப்பி வடிவியல் ஆகியவற்றைத் தொடும் தீவிர ஆராய்ச்சி முயற்சியாக மாறியது. இறுதியில், அது கைப்பிடிக்க, உருட்ட, மற்றும் நம்பக்கூடிய ஒன்றை உருவாக்கியது: பகடைகளின் ஒரு தொகுப்பு.

ஆபர்னின் கணிதக் கட்டிடத்தில் உள்ள அந்த ஐந்து மரப் பகடைகள் வெறும் நினைவுப்பொருள்கள் அல்ல; அவை சில பிரச்சனைகளுக்கு பொறுமை, ஒத்துழைப்பு, மற்றும் பகடைகளை மீண்டும் மீண்டும் உருட்டத் தயாராக இருப்பது தேவை என்பதைத் தொடுதிறனாக நிரூபிக்கும் சான்றுகள்.

இந்தக் கட்டுரை Live Science அறிக்கையை அடிப்படையாகக் கொண்டது. மூலக் கட்டுரையைப் படிக்கவும்.